Cov khoom geometric, tom qab hu ua "Klein lub raj mis", tau piav qhia thawj zaug hauv xyoo 1882 los ntawm German lej Felix Klein. Nws sawv cev li cas? Cov khoom no (lossis theej, geometric lossis topological nto) tsuas yog tsis tuaj yeem muaj nyob hauv peb lub ntiaj teb peb sab. Tag nrho cov qauv uas yog muag hauv cov khw muag khoom plig muaj qhov zoo uas tsuas yog muab lub tswv yim tsis meej ntawm Klein lub raj mis yog dab tsi.
Rau qhov pom tseeb dua, nws tau piav qhia hauv qab no: xav txog lub raj mis nrog lub caj dab ntev heev. Tom qab ntawd lub hlwb ua ob qhov hauv nws: ib qho hauv phab ntsa, thiab qhov thib ob hauv qab. Tom qab ntawd khoov lub caj dab, ntxig rau hauv lub qhov hauv phab ntsa thiab coj nws tawm ntawm lub qhov hauv qab. Cov khoom uas tau tshwm sim yuav yog qhov projection ntawm plaub qhov chaw qhov khoom, uas yog lub raj mis Klein tiag, hauv peb qhov chaw peb sab.
Kev piav qhia ntawm lub raj mis Klein hauv cov lus ntawm lej lossiscov qauv yuav tsis hais dab tsi rau tus layman. Lub ntsiab txhais zoo li no yuav txaus siab rau ntau tus neeg: lub raj mis Klein yog ib qho tsis-orientable manifold (los yog nto) uas muaj ntau yam khoom. Tom qab lo lus "cov khoom" koj tuaj yeem tsim cov koob ntev uas muaj cov haujlwm trigonometric, cov lej, thiab cov tsiaj ntawv Greek thiab Latin. Tab sis qhov no tsuas tuaj yeem ua rau tus neeg tsis tau npaj txhij uas twb tau txais lub tswv yim ntawm qhov projection ntawm ib lub raj mis nyob rau hauv peb qhov chaw.
Qhov tseeb txaus ntshai: lub npe "Klein lub raj mis" tau muab rau cov khoom no, feem ntau yuav yog vim qhov yuam kev lossis kev sau ntawv yuam kev ntawm tus txhais lus. Qhov tseeb yog tias Klein hauv nws txhais tau siv lo lus Fläche, uas yog, "nto" hauv German. Thaum "mus ncig" los ntawm lub teb chaws Yelemees mus rau lwm lub teb chaws, lo lus no tau hloov mus ua ib tug zoo xws li kev sau Flasche (lub raj mis). Ces lub sij hawm rov qab mus rau lub teb chaws ntawm lub hauv paus chiv keeb nyob rau hauv ib tug tshiab, hloov, thiab nyob twj ywm li ntawd mus ib txhis.
Rau ntau cov duab kab lis kev cai (feem ntau yog cov kws sau ntawv tseeb), lo lus "Klein lub raj mis" tau dhau los ua qhov ntxim nyiam. Nws siv los ua tus cwj pwm, thiab qee zaum tus cwj pwm tseem ceeb, tau dhau los ua ib qho cim ntawm "kev txawj ntse" ntawv tseeb. Xws li, piv txwv li, yog zaj dab neeg "The Last Illusionist", sau los ntawm Bruce Eliot. Nyob rau hauv zaj dab neeg, ib tug khawv koob tus pab cuam tsoo rau nws patron, uas ua dag nrog ib tug plaub-dimensional Klein lub raj mis. Tus illusionist uas nce mus rau hauv lub raj mis tseem tshuav ib nrab rau hauv nws. Raws li tus sau, lub raj mis no tsis tuaj yeem tawg yam tsis muaj kev puas tsuaj rau cov ntsiab lus. Puas yog tiag tiag - tsis tuaj yeem haistsis muaj. Tsawg kawg, cov lej, leej twg tuaj yeem teb lo lus nug no, tsis xav tsis thoob los ntawm nws, rau kev tshawb fawb qhov no tsis cuam tshuam.
Qee zaum tshwj xeeb ua Klein fwj tau ntim nrog cawv rau kev tshaj tawm. Muaj tseeb, nws yog technically nyuaj los ua xws li lub raj mis iav; qhov no yuav tsum tau ib tug ntxiv-chav kawm iav blower. Yog li ntawd, nws muaj tus nqi siab heev thiab siv tsis tu ncua. Thiab kev tsim cov thev naus laus zis thiab kev tsim cov fwj ntawm cov kwj dej tsis muaj txiaj ntsig, vim hais tias rau qhov no nws yuav tsim nyog los ua haujlwm tawm txoj kev sau lub raj mis nrog kua (ntawm no, ib yam nkaus, muaj teeb meem). Thiab qhov kev xav ntawm qhov txawv txav thiab qhov tshiab yuav raug hloov sai sai los ntawm qhov tsis yooj yim ntawm kev nchuav cawv los ntawm lub raj mis rau hauv iav.
